2016“登峰杯”全国中学生数学建模竞赛赛题评论

题意理解

赛题没有标题，这种情况在大学生数模竞赛中很少见，或许这是中学生竞赛的特点。没有标题对解题当然不会有影响，但是，如果有标题的话，一定要仔细分析，赛题的标题经常会体现赛题的重点和方向。

赛题一共4个具体要求。“问题1：请以自己选定的某个具体问题的决策为例，通过数学建模的方法，讨论如何平衡和折中以上两种决策准则”，其中“两种决策准则”是指上文中提到的“决策的结果最好”和“决策的成本最小”。注意，是决策的结果和决策的成本，不是方案的结果和成本。决策的结果或许可以认为与方案的结果一致，但是决策的成本绝对不能等同于方案的成本。这一点尽管题目中讲得很清楚，也用红色字体提示“决策本身是需要成本的”，但是估计很多参赛队会忽视，将决策的成本与方案的成本混淆。注意不到这一重要区别，很容易把这个问题当成普通的多目标优化问题来做。

“问题 2：请考虑上述因素，以包含上述因素的某个具体问题的决策为例，通过数学建模的方法，讨论相应的决策准则”。问题2要求除了决策的结果和成本，还要考虑其他因素对决策的影响。这里有一些模糊的地方，所谓“上述因素”，题目中提到的有对手的决策方案，也就是说，要考虑博弈的因素。其他还包括哪些因素，题目没有明确提示，需要参赛队自己分析确定。

问题3是要求对问题1、2的讨论推广到更一般情况，给出研究计划。

问题4是要求写一篇短文。这又是一个容易忽视的地方。这里需要注意短文的“读者”，并且题目中也明确要求“通俗的语言”。这种短文在美国大学生数学建模竞赛中经常出现。估计很多参赛队可能没有写这篇短文，或者不知道写些什么，或者不符合要求。

实例选取

问题1、2都要求以某一个具体问题为例，所以选哪个问题为例，非常关键，也很难。一般的优化问题，或者决策问题，重点考虑的是方案本身的成本、效果，不是决策的成本、效果。这就要求首先讲清楚，什么是决策的成本，什么是方案的成本。

笼统地讲，收集数据、建立模型、求解，都可以视为决策的成本。而得到的最优解（某种目标下的最优解），一般对应一个实施方案，这一方案在执行过程中，会涉及到具体的成本，而这些成本是方案本身的成本，通常已经包含在模型的优化目标中，已经在最优方案中有所体现，而决策的成本不一定有体现。

比如要确定某一段高铁线路的具体位置，前期的勘测、调查，建模求解，这些都是决策的成本。这些成本的投入，对决策结果的优劣，有实质性的影响。不做任何调查研究，直接在地图上画一条直线作为实际位置，也是一种决策方式，决策成本很低，但是效果显然没有任何保证。而通过认真地调研，仔细地计算，得到的线路方案，在实施过程中，会涉及到征地、拆迁、施工等环节的种种成本，这些成本是方案本身的成本，应该已经在设计方案的时候考虑了，也不是决策的成本。

对于题目中提到的AlphaGo的例子，情况有点复杂。整体而言，决策的成本主要体现在前期求解算法的设计、系统架构、编程实现、训练参数以及实际对局时的计算量，而方案的成本非常低，几乎为零，就是在某一处落子。但是如果将对局时每一子作为一个独立的决策问题，忽略前期的投入和建设，那么决策的成本就是每一子的计算量。再换一种角度，如果认为对于机器智能下围棋这样一个问题，算法设计、系统架构这些是决策，得到的结果就是AlphaGo程序本身，计算每一子落子位置是在执行方案，那么，决策的成本和方案的成本的含义就有很大变化。从题目的文字叙述来看，题目的本意可能更接近第二种理解。

因此，所选的实例要能体现决策成本与决策结果的关系。这就要求问题的决策过程不能太简单，太简单了没成本。问题也不能太容易就得到全局最优解，否则决策的结果没有区分度。还要能体现两者的互动关系。符合这样要求的实例不太好找。对于中学生来说，可能更难。

建模求解

即使找到合适的例子，这道题的建模求解部分也难。从上面的分析可以看出，这道题不是简单的决策问题，是把决策当成研究对象，是关于决策的决策。

在明确决策成本和结果的定义的前提下，要选取合适的数量指标才能量化研究，才能计算。选定了指标，成本与结果之间的量化关系又是一个难点。既然是“成本”，不妨都折算成钱，或者时间再来讨论。

如果把决策当成研究对象，将决策的成本和结果作为两个优化目标，那么关于多目标优化的各种处理方式都可以使用。比如将两者之一作为约束条件，对另外一个寻优，或者各种加权模型等。也正是因为有很多现成的折中方式可以使用，要想提出更新颖的方案、方法很难。针对具体例子的折中方案好讲，一般结合问题的实际背景，可以讲出道理，但是问题3明确要求推广到一般情形，这就很难出新、出彩了。但毕竟是一个比较自然的思路。

还有一种方式，既然传统的优化问题只考虑了方案的成本，没有体现决策的成本，那么，如果把决策的成本放入模型，在优化目标或是约束条件中体现，能否直接转化成常规的优化问题？可以试试，但是也会遇到困难。因为决策的成本与原来方案的优化目标之间的联系可能比较松散，如果一定要体现，可能会显得很牵强。比如上面提到的高铁线路规划问题。原来的目标可能是要考虑工程的成本，线路的安全性，便利程度等因素。虽然不能简单说决策本身的成本越高，最后找到的优化方案的结果就越好，但两者显然有一定联系，可以把决策的成本当作工程的一部分，放入模型中试一试，看看效果，看看两者联系的紧密程度。

总结

• 赛题总体偏难

• 不容易把握方向，估计很多队会跑题

• 实例选取很重要

• 关于决策的决策，模型方面不容易创新

相关链接

• 竞赛主页：http://dfb.cxxw.net

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